Для нахождения собственного значения и собственного вектора матрицы A, нужно решить уравнение Av = λv, где v – собственный вектор, λ – собственное значение.
Для начала, найдем собственные значения матрицы A, решив характеристическое уравнение det(A-λI) = 0, где I – единичная матрица.
Для матрицы A=(9 1; 8 2), характеристическое уравнение будет выглядеть следующим образом:
det(A-λI) = det((9-λ) 1; 8 (2-λ)) = (9-λ)(2-λ) – 8 = λ^2 – 11λ + 10 = 0.
Решим данное квадратное уравнение:
(λ-10)(λ-1) = 0.
Таким образом, собственные значения матрицы A равны λ1 = 10 и λ2 = 1.
Далее, найдем собственные векторы, подставив собственные значения в уравнение (A-λI)v = 0 и решив полученную систему уравнений.
1) Для собственного значения λ1 = 10 получаем:
(A-10I)v = ((9-10) 1; 8 (2-10))v = (-1 1; 8 -8)v = 0.
Это уравнение векторов имеет бесконечное число решений, поэтому найдем одно из решений:
(-1 1; 8 -8)v = 0.
-x + y = 0,
8x – 8y = 0.
x = y.
Пусть y = 1, тогда x = 1.
Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1 = 10, равен v1 = (1, 1).
2) Для собственного значения λ2 = 1 получаем:
(A-I)v = ((9-1) 1; 8 (2-1))v = (8 1; 8 1)v = 0.
Это уравнение векторов имеет бесконечное число решений, поэтому найдем одно из решений:
8x + y = 0,
8x + y = 0.
x = -y.
Пусть y = 1, тогда x = -1.
Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2 = 1, равен v2 = (-1, 1).
Таким образом, собственные значения матрицы A равны λ1 = 10 и λ2 = 1, а соответствующие собственные векторы равны v1 = (1, 1) и v2 = (-1, 1).