Дифференциальное уравнение y’=-2y является простейшим линейным уравнением первого порядка. Для его решения воспользуемся методом разделения переменных.
1. Перепишем исходное уравнение в виде dy/dx=-2y.
2. Разделим обе части уравнения на y: (1/y)dy/dx=-2.
3. Перенесем все y на одну сторону уравнения: (1/y)dy=-2dx.
4. Проинтегрируем обе части уравнения отдельно по x: ∫(1/y)dy = ∫(-2)dx.
5. Выполним интегрирование: ln|y| = -2x + C, где C – постоянная интегрирования.
6. Применим экспоненциальную функцию к обеим сторонам уравнения: |y| = e^(-2x + C). Здесь e – основание натурального логарифма.
7. Используя свойство экспоненты, разобьем выражение на две формулы: y = e^(-2x + C) или y = e^(-2x)e^C.
8. Выразим e^C как новую константу: y = Ke^(-2x), где K – новая константа.
Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид y = Ke^(-2x), где K – произвольная постоянная.