Чтобы найти du, нужно найти производную функции u по каждой переменной и умножить их на соответствующие изменения переменных. Начнем с нахождения производной u по z.
Чтобы найти ∂u/∂z, рассмотрим u как функцию одной переменной z и считаем все остальные переменные (x и y) постоянными. В этом случае у нас получается простая производная функции одной переменной:
∂u/∂z = d/dz (z-x)/(x+y)
Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования частного функций. Это правило гласит, что производная частного двух функций равна разности производных числителя и знаменателя, деленной на квадрат знаменателя. Применяя это правило, получаем:
∂u/∂z = [(d/dz (z-x)) * (x+y) – (z-x) * (d/dz (x+y))]/(x+y)^2
Теперь найдем производные числителя и знаменателя:
d/dz (z-x) = 1 # производная z по z равна 1
d/dz (x+y) = 0 # производная о сумме константы по любой переменной равна 0
Подставим эти значения в формулу для ∂u/∂z:
∂u/∂z = [(1) * (x+y) – (z-x) * (0)]/(x+y)^2
= (x+y – 0)/(x+y)^2
= 1/(x+y)
Теперь найдем производную u по x.
Чтобы найти ∂u/∂x, рассмотрим u как функцию одной переменной x и считаем все остальные переменные (z и y) постоянными. Опять же, у нас получается производная функции одной переменной:
∂u/∂x = d/dx (z-x)/(x+y)
Используя правило дифференцирования частного функций, получаем:
∂u/∂x = [(d/dx (z-x)) * (x+y) – (z-x) * (d/dx (x+y))]/(x+y)^2
Теперь найдем производные числителя и знаменателя:
d/dx (z-x) = -1 # производная x по x равна 1
d/dx (x+y) = 1 # производная о сумме константы по любой переменной равна 0
Подставим эти значения в формулу для ∂u/∂x:
∂u/∂x = [(-1) * (x+y) – (z-x) * (1)]/(x+y)^2
= (-x-y -z + x)/(x+y)^2
= -y/(x+y)^2
Итак, мы нашли ∂u/∂z = 1/(x+y) и ∂u/∂x = -y/(x+y)^2.
Теперь, чтобы найти du, умножим каждое из этих значений на соответствующее изменение переменных dz и dx:
du = (1/(x+y)) * dz – (y/(x+y)^2) * dx
Это и есть искомое значение du.