Для нахождения координат многочлена в данном базисе нужно разложить его на линейную комбинацию базисных векторов и найти коэффициенты при каждом базисном векторе.
Шаги решения:
1. Записываем многочлен -3х^2+29x-71 в виде линейной комбинации базисных векторов:
-3х^2+29x-71 = c1*e1 + c2*e2 + c3*e3,
где c1, c2, c3 – коэффициенты при базисных векторах, которые нужно найти.
2. Записываем базисные векторы в виде:
e1 = 1,
e2 = (x-4),
e3 = (x-4)^2.
3. Разлагаем многочлен на базисные векторы:
-3х^2+29x-71 = c1*1 + c2*(x-4) + c3*(x-4)^2.
4. Раскрываем скобки во втором и третьем членах:
-3х^2+29x-71 = c1*1 + c2*(x-4) + c3*(x^2 – 8x + 16).
5. Складываем подобные члены:
-3х^2+29x-71 = c1*1 + c2*x – 4c2 + c3*x^2 – 8c3x + 16c3.
6. Группируем члены с одинаковыми степенями х:
-3х^2+29x-71 = (c3)*x^2 + (c2-8c3)*x + (c1-4c2+16c3).
7. Составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения:
-3 = c3,
29 = c2 – 8c3,
-71 = c1 – 4c2 + 16c3.
8. Решаем систему уравнений методом подстановки или методом Гаусса (линейные уравнения):
Подставляем значение c3 = -3 во второе уравнение:
29 = c2 – 8*(-3),
29 = c2 + 24,
c2 = 29 – 24,
c2 = 5.
Подставляем значения c3 = -3 и c2 = 5 в третье уравнение:
-71 = c1 – 4*5 + 16*(-3),
-71 = c1 – 20 – 48,
-71 = c1 – 68,
c1 = -71 + 68,
c1 = -3.
9. Находим координаты многочлена в базисе е1, е2, е3:
Координаты многочлена -3х^2+29x-71 в данном базисе равны (-3, 5, -3).
На этом решение задачи завершено. Мы нашли координаты многочлена -3х^2+29x-71 в базисе е1=1, е2=(x-4), е3=(x-4)^2, и они равны (-3, 5, -3).