Мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми.
1. Найдем точки пересечения кривых x²+4y=0 и x+y=0. Для этого решим систему уравнений, подставляя y из одного уравнения в другое:
x²+4(-x)=0
x²-4x=0
x(x-4)=0
Таким образом, x может быть равно 0 или 4.
Когда x=0, y = -x = 0.
Когда x=4, y = -x = -4.
2. Найдем точку пересечения кривых (0, 0) и (4, -4) и построим график кривых.
3. Определим пределы интеграции. Поскольку мы рассматриваем фигуру между двумя кривыми, пределы интегрирования будут соответствовать значениям x, где x²+4y=0 и x+y=0 пересекаются. В данном случае пределы будут от x=0 до x=4.
4. Запишем определенный интеграл для вычисления площади фигуры:
S = ∫[0, 4] [(x+y) – (x²+4y)] dx
где (x+y) – (x²+4y) – это расстояние между двумя кривыми в каждой точке x.
5. Вычислим данный интеграл:
S = ∫[0, 4] (x – x² – 3y) dx
Проинтегрировав, получим:
S = [x²/2 – x³/3 – 3xy] [0, 4]
S = [(4²/2 – 4³/3 – 3(4)(-4)] – [(0²/2 – 0³/3 – 3(0)(0)]
S = [8 – 64/3 + 48] – [0]
S = 8 – 64/3 + 48
S = 56 – 64/3
6. Получившееся значение S является площадью фигуры, ограниченной кривыми x²+4y=0 и x+y=0.
Таким образом, площадь фигуры равна 56 – 64/3.