Чтобы найти производную функции f(x) в точке x = 2, нам понадобится использовать правило дифференцирования для суммы и разности функций, а также для произведения функции на константу.
Шаги решения:
1. Найдём производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования для полиномов.
f₁(x) = 1, f₂(x) = -x², f₃(x) = x³, f₄(x) = -x⁴, f₅(x) = x⁵.
f₁'(x) = 0, f₂'(x) = -2x, f₃'(x) = 3x², f₄'(x) = -4x³, f₅'(x) = 5x⁴.
2. Произведём дифференцирование каждого слагаемого по отдельности.
f₂'(x) = -2x², f₃'(x) = 3x², f₄'(x) = -4x³, f₅'(x) = 5x⁴.
3. Найдём производную для каждого слагаемого.
f'(x) = f₁'(x) + f₂'(x) + f₃'(x) + f₄'(x) + f₅'(x) = 0 + (-2x²) + (3x²) + (-4x³) + (5x⁴) = -2x² + 3x² – 4x³ + 5x⁴.
4. Подставим x = 2 в выражение для производной.
f'(2) = -2(2)² + 3(2)² – 4(2)³ + 5(2)⁴ = -2(4) + 3(4) – 4(8) + 5(16) = -8 + 12 – 32 + 80 = 52.
Ответ: При x = 2, производная функции f(x) равна 52.