Разложение вектора x=(-2;4;7) по векторам p=(0;1;2), q=(1;0;1), r=(-1;2;4) означает найти такие коэффициенты a, b и c, что x = a*p + b*q + c*r.
Шаги решения:
1. Запишем уравнение разложения: (-2;4;7) = a*(0;1;2) + b*(1;0;1) + c*(-1;2;4).
2. Распишем правую часть уравнения:
(-2;4;7) = (0; a; 2a) + (b; 0; b) + (-c; 2c; 4c).
3. Сложим соответствующие координаты векторов в каждом из трех слагаемых:
-2 = -c,
4 = a + 2c,
7 = 2a + b + 4c.
4. Решим полученную систему уравнений методом подстановки или методом Крамера.
Из первого уравнения получаем: c = 2.
Подставим значение c во второе уравнение:
4 = a + 2 * 2,
4 = a + 4,
a = 0.
Подставим значение a и c в третье уравнение:
7 = 2 * 0 + b + 4 * 2,
7 = b + 8,
b = -1.
5. Итак, мы получили значения коэффициентов: a = 0, b = -1, c = 2.
Подставляем их в уравнение разложения и получаем:
(-2;4;7) = 0*(0;1;2) – 1*(1;0;1) + 2*(-1;2;4).
Ответ: (-2;4;7) = (0;0;0) – (1;0;1) + (-2;4;8).