Для разложения вектора x по векторам p, q и r нам необходимо найти коэффициенты разложения. Коэффициентами разложения будут являться числа, на которые нужно умножить каждый из векторов p, q и r, чтобы их сумма равнялась вектору x.
Возьмем вектора p, q и r и обозначим их как p = {1; 0; 5}, q = {-1; 3; 2} и r = {0; -1; 1} соответственно. Обозначим коэффициенты разложения как a, b и c.
Уравнение разложения имеет вид:
a * p + b * q + c * r = x
Подставим значения вектора x и векторов p, q и r в уравнение разложения:
a * {1; 0; 5} + b * {-1; 3; 2} + c * {0; -1; 1} = {5; 15; 0}
Раскроем скобки:
a * {1; 0; 5} + b * {-1; 3; 2} + c * {0; -1; 1} = {5; 15; 0}
Умножим каждый вектор коэффициентом:
{a; 0; 5a} + {-b; 3b; 2b} + {0; -c; c} = {5; 15; 0}
Сложим соответствующие координаты:
a – b = 5
3b – c = 15
5a + 2b + c = 0
Теперь необходимо решить полученную систему уравнений. Выразим a и c из первых двух уравнений:
a = 5 + b
c = 3b – 15
Подставим значения в третье уравнение:
5(5 + b) + 2b + (3b – 15) = 0
Упростим уравнение:
25 + 5b + 2b + 3b – 15 = 0
10b = -10
b = -1
Теперь найдем значения a и c:
a = 5 + (-1) = 4
c = 3(-1) – 15 = -18
Итак, коэффициенты разложения равны a = 4, b = -1 и c = -18. Таким образом, разложение вектора x по векторам p, q и r будет иметь вид:
4 * p + (-1) * q + (-18) * r = x