Для разложения вектора x по векторам p, q и r, мы должны найти коэффициенты при этих векторах, которые при умножении на каждый из них суммируются в исходный вектор x.
Пусть коэффициенты при векторах p, q и r будут a, b и c соответственно. Тогда разложение вектора x будет иметь вид:
x = a*p + b*q + c*r
Для того чтобы найти коэффициенты a, b и c, мы можем составить систему уравнений, используя координаты векторов.
Система уравнений будет иметь вид:
-2 = a*0 + b*1 + c*(-1)
4 = a*1 + b*0 + c*2
7 = a*2 + b*1 + c*4
Решим эту систему уравнений с помощью метода Гаусса или метода Крамера, чтобы найти коэффициенты a, b и c.
Применяя метод Гаусса, мы выполняем следующие шаги:
1. Вычитаем второе уравнение из третьего уравнения, умноженное на 2: (7 – 2*(4)) = 1*a + 1*b + 1*c
2. Вычитаем первое уравнение из второго уравнения: (4 – 0) = a + b + 3*c
3. Подставляем полученные значения для a и b в первое уравнение: -2 = 0 + 1 + (-1)*c
4. Получаем уравнение -2 = 1 – c
5. Решаем это уравнение и находим c = 3
6. Подставляем полученное значение для c в третье уравнение: 7 = 2*a + 1*b + 4*3
7. Получаем уравнение 7 = 2*a + b + 12
8. Вычитаем из этого уравнения 12: -5 = 2*a + b
9. Получаем уравнение b = -2*a – 5
10. Подставляем значение b во второе уравнение: 4 = a + (-2*a – 5)*2
11. Получаем уравнение 4 = a – 4*a – 10
12. Вычитаем из этого уравнения 4: -8 = -3*a
13. Получаем уравнение a = 8/3
Итак, мы нашли значения коэффициентов:
a = 8/3, b = -2*a – 5 = -2*(8/3) – 5 = -16/3 – 5 = -16/3 – 15/3 = -31/3, c = 3
Таким образом, разложение вектора x по векторам p, q и r будет:
x = (8/3)*p + (-31/3)*q + 3*r