На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для нахождения математического ожидания случайной величины S и ее дисперсии, нам нужно вычислить интегралы.
1. Найдем математическое ожидание S:
Математическое ожидание, обозначаемое как E[S], вычисляется следующим образом:
E[S] = ∫ x * Ps(x) dx,
где Ps(x) – плотность распределения случайной величины S.
Интеграл будет состоять из двух частей, так как плотность равна нулю вне промежутка (0, 2). Интегралы по отрезку (0, 2) можно записать следующим образом:
E[S] = ∫ x * Ax dx,
E[S] = A * ∫ x^2 dx.
Решим первый интеграл:
∫ x * Ax dx = A * ∫ x^2 dx = A * [x^3 / 3] (от 0 до 2).
Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
E[S] = A * [(2^3 / 3) – (0^3 / 3)] = A * (8 / 3) = (8A / 3).
Итак, математическое ожидание S равно (8A / 3).
2. Найдем дисперсию случайной величины S:
Дисперсия, обозначаемая как Var[S], вычисляется следующим образом:
Var[S] = E[S^2] – (E[S])^2,
где E[S^2] – математическое ожидание квадрата случайной величины S.
Используя найденное ранее математическое ожидание S, вычислим E[S^2]:
E[S^2] = ∫ x^2 * Ps(x) dx,
E[S^2] = ∫ x^2 * Ax dx,
E[S^2] = A * ∫ x^3 dx.
Решим последний интеграл:
∫ x^3 dx = [x^4 / 4] (от 0 до 2).
Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
E[S^2] = A * [(2^4 / 4) – (0^4 / 4)] = A * 4 = 4A.
Теперь, подставим значения E[S] и E[S^2] в формулу для дисперсии:
Var[S] = E[S^2] – (E[S])^2 = 4A – (8A / 3)^2.
Вот и все, это дисперсия случайной величины S.
Таким образом, математическое ожидание S равно (8A / 3) и дисперсия Var[S] = 4A – (8A / 3)^2.
