Для разложения функции y = arctgx по формуле Тейлора необходимо найти значения всех производных функции в точке разложения x0 = 1.
Так как в данном случае имеется функция одной переменной, то производные можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции.
Заметим, что arctgx можно записать как y = tan^(-1)(x). Используя правило дифференцирования arctan(x), получаем:
y’ = 1/(1+x^2)
Теперь найдем значение второй производной:
y” = (-2x)/(1+x^2)^2
Наконец, найдем значение третьей производной:
y”’ = (6x^2 – 2)/(1+x^2)^3
Теперь, имея значения всех необходимых производных, можем записать формулу Тейлора для данной функции в точке x0 = 1:
y = y(x0) + y'(x0)*(x-x0) + y”(x0)*(x-x0)^2/2! + y”'(x0)*(x-x0)^3/3!
Заменяя значения производных в точке x0, получим:
y = arctg(1) + 1/(1+1^2) * (x-1) – (2*1)/(1+1^2)^2 * (x-1)^2/2! + (6*1^2 – 2)/(1+1^2)^3 * (x-1)^3/3!
Упростим выражение слагаемое за слагаемым:
y = π/4 + (x-1)/2 – (x-1)^2/8 + 5(x-1)^3/48
Таким образом, функция arctgx может быть разложена по формуле Тейлора 3-го порядка в точке x0 = 1:
arctgx ≈ π/4 + (x-1)/2 – (x-1)^2/8 + 5(x-1)^3/48 с остаточным членом в форме Пеано.