Чтобы найти производную y’ от неявной функции, нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции.
Шаги решения:
1. Дана неявная функция x^3y^2+5x+4y=0.
2. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x, используя правило дифференцирования сложной функции.
3. Производная левой части уравнения равна производной каждого слагаемого в ней. Производная x^3 по x равна 3x^2, производная y^2 по x равна 2y * y’, производная 5x по x равна 5, производная 4y по x равна 4y’.
4. Поскольку уравнение является неявным, производная правой части равняется 0.
5. Подставляем значения в найденные производные и решаем уравнение относительно y’.
Таким образом, производная y^’ от неявной функции x^3y^2+5x+4y=0 в точке M(1;2) будет равна:
3 * 1^2 + 2 * 2 * y’ + 5 + 4 * y’ = 0.
Решаем это уравнение относительно y’:
3 + 4y’ + 4y’ = -5.
8y’ = -8.
y’ = -1.
Итак, производная y^’ от неявной функции равна -1 в точке M(1;2).