Данная задача предлагает найти третью производную функции y = xln(x) и вычислить значение этой производной в точке x = 1.
Шаги решения:
1. Сначала найдем первую производную функции y = xln(x), используя правило производной произведения функций:
y’ = (x * d(ln(x))/dx) + (ln(x) * d(x)/dx).
Первое слагаемое можно упростить, используя правило дифференцирования натурального логарифма: d(ln(x))/dx = 1/x.
Второе слагаемое можно упростить, так как x является независимой переменной и его производная равна 1: d(x)/dx = 1.
Получаем y’ = (x * 1/x) + (ln(x) * 1) = 1 + ln(x).
2. Теперь найдем вторую производную функции y’, опять используя правило производной суммы:
y” = d(1)/dx + d(ln(x))/dx.
Первое слагаемое равно 0, так как производная константы равна 0: d(1)/dx = 0.
Второе слагаемое можно упростить, используя правило дифференцирования натурального логарифма: d(ln(x))/dx = 1/x.
Получаем y” = 0 + 1/x = 1/x.
3. Найдем третью производную функции y”, снова применяя правило производной частного:
y”’ = d(1/x)/dx.
Применим правило дифференцирования обратной функции: d(1/x)/dx = -1/x².
Получаем y”’ = -1/x².
4. Наконец, найдем значение третьей производной в точке x = 1, подставив x = 1 в выражение для y”’:
y”'(1) = -1/1² = -1.
Таким образом, третья производная функции y = xln(x) равна -1, когда x = 1.