Задача состоит в решении следующего интеграла:
∫ e^x/(1+e^x) dx
Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Для этого выберем новую переменную u, равную 1+e^x. Заменим переменные в интеграле:
u = 1+e^x,
du = e^x dx.
Теперь преобразуем исходный интеграл, заменяя dx:
∫ e^x/(1+e^x) dx = ∫ du/u.
Интеграл стал проще, теперь его можно легко решить:
∫ du/u = ln|u| + C,
где C – произвольная постоянная.
Осталось выразить исходную переменную x через u:
u = 1+e^x,
e^x = u-1,
x = ln(u-1).
Таким образом, окончательное решение задачи:
∫ e^x/(1+e^x) dx = ln|1+e^x| + C,
где C – произвольная постоянная.