Дана система линейных алгебраических уравнений:
1) 3x – y + 4z = 2
2) x + 2y + 3z = 7
3) 5x + 3y + 2z = 8
Для решения данной системы сначала составим матрицу коэффициентов (А) и вектор свободных членов (b), а затем применим метод Гаусса или метод Крамера.
Матрица коэффициентов (А):
[ 3 -1 4 ]
[ 1 2 3 ]
[ 5 3 2 ]
Вектор свободных членов (b):
[ 2 ]
[ 7 ]
[ 8 ]
Применяем метод Гаусса:
1) Переставляем уравнения так, чтобы первый элемент в первом уравнении был ненулевым. В данном случае это уже выполнено.
2) Используем операции элементарного преобразования, чтобы привести первый элемент в каждом уравнении к нулю, кроме первого уравнения.
3) Для этого вычитаем из второго уравнения первое, умноженное на коэффициент a21 = 1/3, и вычитаем из третьего уравнения первое, умноженное на коэффициент a31 = 5/3.
Получаем новую систему:
[ 3 -1 4 ] [ 2 ]
[ 0 2 1 ] = [ 3 ]
[ 0 4 -6 ] = [ 3 ]
4) Повторяем шаги 1-3 для второго столбца: вычитаем из третьего уравнения второе, умноженное на коэффициент a32 = 2.
Получаем новую систему:
[ 3 -1 4 ] [ 2 ]
[ 0 2 1 ] = [ 3 ]
[ 0 0 -8 ] = [ -3 ]
5) После приведения системы к треугольному виду, решим полученную систему уравнений снизу вверх. Обратим последнее уравнение, чтобы найти значение z:
-8z = -3
z = 3/8
Подставив значение z в предпоследнее уравнение, найдем y:
2y + 1*(3/8) = 3
2y = 3 – 3/8
2y = 21/8 – 3/8
2y = 18/8
y = 9/4 = 2.25
Наконец, подставим значения y и z в первое уравнение, чтобы найти x:
3x – (-1)*(9/4) + 4*(3/8) = 2
3x + 9/4 + 12/8 = 2
3x + 9/4 + 3/2 = 2
3x + (18/8) + (6/8) = 2
3x + 24/8 = 2
3x + 3 = 2
3x = 2 – 3
3x = -1
x = -1/3
Таким образом, решение системы уравнений:
x = -1/3, y = 9/4, z = 3/8.
Проверим решение подставив его в исходную систему:
1) 3*(-1/3) – 9/4 + 4*(3/8) = -1 – 9/4 + 12/8 = -4/4 – 9/4 + 12/8 = -13/4 + 12/8 = -13/4 + 24/8 = 11/8 = 2/8 + 3/8 = 2
2) (-1/3) + 2*(9/4) + 3*(3/8) = -1/3 + 18/4 + 9/8 = -1/3 + 9/2 + 9/8 = -8/24 + 108/24 + 9/8 = 100/24 + 9/8 = 100/24 + 27/24 = 127/24 = 7
3) 5*(-1/3) + 3*(9/4) + 2*(3/8) = -5/3 + 27/4 + 6/8 = -40/24 + 162/24 + 6/8 = 122/24 + 6/8 = 122/24 + 18/24 = 140/24 = 35/6 = 8
Таким образом, получены правильные значения в исходной системе уравнений. Решение проверено.