Для решения данной задачи, сначала найдем точки пересечения кривых y^2 = 2 – x и y = x.
Подставим уравнение y = x в уравнение y^2 = 2 – x:
(x)^2 = 2 – x
x^2 + x – 2 = 0
Решим это квадратное уравнение:
(x + 2)(x – 1) = 0
Таким образом, x = -2 или x = 1.
Теперь найдем соответствующие значения y.
При x = -2:
y = -2
При x = 1:
y = 1
Таким образом, точки пересечения кривых y^2 = 2 – x и y = x равны (-2, -2) и (1, 1).
Теперь можно описать пределы интегрирования для двойного интеграла.
Пределы интегрирования будут следующими:
x идет от -2 до 1, а y идет от y = x до y = √(2 – x).
Теперь можно записать исходный интеграл:
∫∫(D) y^2 dA, где D – область, ограниченная кривыми y^2 = 2 – x и y = x.
Разобьем этот интеграл на два интеграла, каждый из которых будет интегрироваться по переменной x и y соответственно.
Первый интеграл:
∫[x=-2 to 1] ∫[y=x to √(2-x)] y^2 dy dx
Второй интеграл:
∫[x=-2 to 1] ∫[y=√(2-x) to x] y^2 dy dx
Выполним вычисления для первого интеграла (для ускорения вычислений, проигнорируем (-1)^2=-1; упростим √(2-x)^2=2-x):
∫[x=-2 to 1] ∫[y=x to √(2-x)] y^2 dy dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)y^3] [y=x to √(2-x)] dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)(√(2-x))^3 – (1/3)x^3] dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)(2-x)√(2-x) – (1/3)x^3] dx
Выполним вычисления для второго интеграла:
∫[x=-2 to 1] ∫[y=√(2-x) to x] y^2 dy dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)y^3] [y=√(2-x) to x] dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)x^3 – (1/3)(√(2-x))^3] dx
= ∫[x=-2 to 1] [(1/3)x^3 – (1/3)(2-x)√(2-x)] dx
Наконец, сложим два интеграла, чтобы получить окончательный ответ:
∫[x=-2 to 1] [(1/3)(2-x)√(2-x) – (1/3)x^3] dx + ∫[x=-2 to 1] [(1/3)x^3 – (1/3)(2-x)√(2-x)] dx
= ∫[x=-2 to 1] 0 dx
= 0
Таким образом, двойной интеграл ∫∫(D) y^2 dA равен 0.