Данное квадратное уравнение имеет более одного решения, если его дискриминант D больше нуля. Для этого вычислим значение D и найдем наибольший модуль числа a при котором D > 0.
Уравнение имеет вид: (a+6)x^2 – 2√2x(a-1) + (a-1) = 0
Вычислим дискриминант по формуле D = b^2 – 4ac, где a = a+6, b = -2√2(a-1), c = a-1.
D = (-2√2(a-1))^2 – 4(a+6)(a-1).
Раскроем скобки:
D = 8(a-1)(a-1) – 4(a^2 -1).
D = 8(a^2 – 2a + 1) – 4(a^2 – 1).
D = 8a^2 – 16a + 8 – 4a^2 + 4.
D = 4a^2 – 16a + 12.
Уравнение имеет более одного решения, если D > 0.
Подставим D в неравенство:
4a^2 – 16a + 12 > 0.
Разделим все коэффициенты на 4:
a^2 – 4a + 3 > 0.
Найдем корни данного уравнения:
(a-1)(a-3) > 0.
Мы получили два корня: a=1 и a=3.
Проверим знаки в интервалах:
a<1, a=1, 1
При a < 1 неравенство не выполняется. При 1 < a < 3 неравенство выполняется. При a > 3 неравенство не выполняется.
Из этого следует, что корни a=1 и a=3 являются крайними точками интервала, в котором выполняется неравенство.
Наибольший модуль числа a будет |3| = 3.
Таким образом, ответ на задачу: наибольший натуральный модуль числа a, при котором уравнение (a+6)x^2 – 2√2x(a-1) + (a-1) = 0 имеет более одного решения, равен 3.