Для того чтобы уравнение имело только целочисленные корни, дискриминант должен быть равен полному квадрату некоторого целого числа.
Найдем дискриминант D для данного уравнения:
D = b^2 – 4ac = 1 – 4a(6a^2 – 4) = 1 – 24a^3 + 16a
D должно быть полным квадратом некоторого целого числа. Обозначим это целое число за k
То есть, должно выполняться условие: D = k^2
Заменим D в этом условии:
k^2 = 1 – 24a^3 + 16a
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
24a^3 – 16a + (1 – k^2) = 0
Заметим, что это кубическое уравнение относительно переменной a.
Шаги решения:
1. Решим уравнение 24a^3 – 16a + (1 – k^2) = 0 относительно a.
2. Найденное значение a проверим на то, удовлетворяет ли оно условию, что дискриминант является полным квадратом некоторого целого числа.
3. Если выполняется условие, то найденное значение a является одним из искомых. Если нет, это значение отбрасываем.
4. Повторяем шаги 2-3 для всех возможных значений k.
5. Если найдено несколько значений a, то их сумма умножается на 12 и это будет ответом на задачу.
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению решений кубического уравнения и проверке условия на полный квадрат дискриминанта. Количество искомых значений может быть разным. Ответ – сумма всех найденных значений a, умноженная на 12.