У нас есть задача на численное интегрирование для функции f(x) = 1 / (1 + x^2) на отрезке [-1, 1]. Нам нужно вычислить значение интеграла с использованием квадратурных формул трапеции и Симпсона с заданным шагом разбиения h = 1 и сравнить результаты с точным решением.
Шаги решения:
1. Разделим отрезок интегрирования [-1, 1] на части с указанным шагом h = 1. Получим две точки разбиения: -1 и 0.
2. Вычислим значения функции в этих точках: f(-1) = 1 / (1 + (-1)^2) = 0.5 и f(0) = 1 / (1 + 0^2) = 1.
3. Для квадратурной формулы трапеции используем формулу: интеграл ≈ h/2 * (f(a) + f(b)), где a и b – точки разбиения. В нашем случае это: интеграл ≈ 1/2 * (0.5 + 1) = 0.75.
4. Для квадратурной формулы Симпсона используем формулу: интеграл ≈ h/3 * (f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)). В нашем случае это: интеграл ≈ 1/3 * (0.5 + 4*1 + 1) ≈ 5/3 ≈ 1.66667.
5. Для нахождения точного значения интеграла мы можем воспользоваться аналитическим решением. Интеграл ∫(1/(1 + x^2)) dx от -1 до 1 равен arctan(x) от -1 до 1, что даёт arctan(1) – arctan(-1) ≈ pi/2 ≈ 1.5708.
6. Сравним результаты численного и точного решений: для формулы трапеции получили 0.75, для формулы Симпсона – 1.66667. Оба значения значительно отличаются от точного решения 1.5708.
Вывод: При данном шаге разбиения h = 1 квадратурные формулы трапеции и Симпсона дают значения интеграла, которые существенно отличаются от точного решения. Чтобы повысить точность, необходимо использовать более мелкое разбиение или другие методы численного интегрирования.