Задача состоит в вычислении криволинейного интеграла от функции 27y^2*x^-3dl по пути, заданному полукубической параболой, соединяющей точки O(0;0) и A(3;√3).
Шаг 1: Параметризуем путь.
Уравнение полукубической параболы y^2 = (4x^3)/9 можно переписать в виде y = (2√3/3)x^(3/2). Теперь мы можем параметризовать путь следующим образом:
x(t) = t, где t изменяется от 0 до 3
y(t) = (2√3/3)t^(3/2)
Шаг 2: Вычислим dl и заменим его в интеграле.
dl = √(dx^2 + dy^2) = √(1 + (dy/dx)^2)dx = √(1 + (9/4)*t^2) dt
Теперь мы можем переписать криволинейный интеграл:
I = ∫(0 до 3) 27((2√3/3)*t^(3/2))^2*(t^(-3))*√(1 + (9/4)*t^2) dt
Шаг 3: Выполним алгебраические вычисления.
I = ∫(0 до 3) 27*(12/9)*t^3*(t^(-3))*√(1 + (9/4)*t^2) dt
Упростим выражение:
I = ∫(0 до 3) 36√(1 + (9/4)*t^2) dt
Шаг 4: Решим интеграл.
Мы можем использовать подстановку u = 1 + (9/4)*t^2, тогда du = (9/2)*t dt.
При t = 0, u = 1, и при t = 3, u = 28.
I = (2/9)∫(1 до 28) √u du
I = (2/9)*(2/3)*u^(3/2) |(1 до 28)
I = (4/27)*(28^(3/2) – 1)
Шаг 5: Вычислим значение криволинейного интеграла.
I = (4/27)*(28^(3/2) – 1) ≈ 11.1564
Ответ: Значение криволинейного интеграла 27y^2*x^-3dl по заданному пути полукубической параболы, соединяющей точки O(0;0) и A(3;√3), примерно равно 11.1564.