Чтобы вычислить данное выражение, нужно возвести дробь ((-14-4i)/(2-7i)) в степень -5.
Шаг 1: Найдем модуль и аргумент числителя и знаменателя. Модуль комплексного числа a+bi вычисляется как √(a^2 + b^2), а его аргумент φ как arctg(b/a). Для числителя и знаменателя получаем:
Модуль числителя |(-14-4i)| = √((-14)^2 + (-4)^2) = √(196 + 16) = √212 ≈ 14.56
Модуль знаменателя |(2-7i)| = √(2^2 + (-7)^2) = √(4 + 49) = √53 ≈ 7.28
Аргумент числителя arg(-14-4i) = arctg((-4)/(-14)) = arctg(4/14) = arctg(2/7) ≈ 0.29 радиан
Аргумент знаменателя arg(2-7i) = arctg((-7)/2) = arctg(-3.5) ≈ -1.25 радиан
Шаг 2: Вычислим модуль и аргумент для дроби.
Модуль дроби |(-14-4i)/(2-7i)| = |(-14-4i)|/|(2-7i)| = 14.56/7.28 ≈ 2
Аргумент дроби arg((-14-4i)/(2-7i)) = arg(-14-4i) – arg(2-7i) ≈ 0.29 + 1.25 ≈ 1.54 радиан
Шаг 3: Возведем модуль дроби в степень -5.
|(-14-4i)/(2-7i)|^(-5) = 2^(-5) = 1/32
Шаг 4: Возведем аргумент дроби в степень -5.
arg((-14-4i)/(2-7i))^(-5) = 1.54 * (-5) = -7.7 радиан
Шаг 5: Получим итоговый результат.
((-14-4i)/(2-7i))^(-5) = (1/32) * (cos(-7.7) + i*sin(-7.7))
Таким образом, итоговый результат выражения ((-14-4i)/(2-7i))^(-5) равен (1/32) * (cos(-7.7) + i*sin(-7.7)).