Дана обыкновенная дифференциальная уравнение первого порядка: xy’ + y = 0.
Его можно решить, используя метод разделяющих переменных.
Шаги решения:
1. Разделим уравнение на x, чтобы получить y’ в отдельности: y’ + y/x = 0.
2. Перенесем y/x на другую сторону уравнения: y’ = -y/x.
3. Теперь разделим обе части уравнения на y, чтобы выразить y’ в отношении y: y’ / y = -1/x.
4. Интегрируем обе части уравнения: ∫ y’ / y dy = ∫ -1/x dx.
5. Левую часть интегрируем как логарифм натурального числа: ln|y| = -ln|x| + C1, где C1 – постоянная интегрирования.
6. Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов: ln|y| = ln(1/x) + C1.
7. Применим экспоненциальную функцию к обеим частям уравнения: |y| = 1/x * e^(C1).
8. Уберем абсолютные значения и заменим константу экспоненциальной функцией другой константы: y = ±(1/x) * C2, где C2 = ±e^(C1).
9. Для более компактной формы можем переписать кратко: y = C/x, где C – произвольная константа.
Таким образом, общее решение уравнения xy’ + y = 0 имеет вид y = C/x, где C – произвольная константа.