Дано дифференциальное уравнение y’ = -x + y/x. Чтобы решить его, следуйте следующим шагам:
1. Приведите уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Умножьте обе части уравнения на x, чтобы избавиться от x в знаменателе: x * y’ = -x^2 + y.
2. Перепишите уравнение в виде y’ = (-x^2 + y)/x.
3. Выразите y’ через y и x: y’ = (y – x^2)/x.
4. Разделите обе части уравнения на (y – x^2): (1/(y – x^2)) * y’ = 1/x.
5. Проинтегрируйте обе части уравнения относительно переменных y и x. Левую часть можно проинтегрировать как ln|y – x^2|, а правую часть можно проинтегрировать как ln|x| + C, где C – произвольная постоянная.
6. Полученное уравнение: ln|y – x^2| = ln|x| + C.
7. Примените экспоненту к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от логарифмов. Получим y – x^2 = e^(ln|x| + C), что равно y – x^2 = e^(ln|x|) * e^C.
8. Заметим, что e^(ln|x|) = |x|, поскольку экспонента и логарифм с основанием e являются обратными операциями. Поэтому получим y – x^2 = |x| * e^C.
9. Используя свойство абсолютной значения, разделим уравнение на |x|: (y – x^2)/|x| = e^C.
10. Заметим, что (y – x^2)/|x| = y/|x| – x. Подставим это в уравнение: y/|x| – x = e^C.
11. Используя общее решение уравнения A|x|^k = B, где A и B – произвольные константы, получим y/|x| – x = e^C, где e^C = A и -1 = B.
12. В итоге получаем окончательное решение уравнения: y/|x| – x = C, где C = e^C.
Таким образом, решение дифференциального уравнения y’ = -x + y/x имеет вид y/|x| – x = C, где C – произвольная постоянная.