12*x-2*x^2-13>=sqrt(3*y^2-24*y+73)

$$- 2 x^{2} + 12 x – 13 geq sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73}$$

Дано неравенство:
$$- 2 x^{2} + 12 x – 13 geq sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 2 x^{2} + 12 x – 13 = sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$- 2 x^{2} + 12 x – 13 = sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73}$$
в
$$- sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + – 2 x^{2} + 12 x – 13 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 12$$
$$c = – sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} – 13$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(12)^2 – 4 * (-2) * (-13 – sqrt(73 – 24*y + 3*y^2)) = 40 – 8*sqrt(73 – 24*y + 3*y^2)

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
$$x_{2} = frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

______________________________
/ __________________
/ / 2
/ 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y 1
3 – ———————————- – —
4 10

=
$$- frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 2 x^{2} + 12 x – 13 geq sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73}$$

2
/ ______________________________ / ______________________________
| / __________________ | | / __________________ |
| / / 2 | | / / 2 | __________________
| / 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y 1 | | / 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y 1 | / 2
12*|3 – ———————————- – –| – 2*|3 – ———————————- – –| – 13 >= / 3*y – 24*y + 73
4 10/ 4 10/

2
/ ______________________________
______________________________ | / __________________ | __________________
/ __________________ | / / 2 | >= / 2
109 / / 2 |29 / 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y | / 73 – 24*y + 3*y
— – 3*/ 40 – 8*/ 73 – 24*y + 3*y – 2*|– – ———————————-|
5 10 4 /

Тогда
$$x leq – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3 wedge x leq frac{1}{4} sqrt{- 8 sqrt{3 y^{2} – 24 y + 73} + 40} + 3$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2