(20*x^2-32*x+3)*1/(3*x^2+7*x+2)

$$frac{20 x^{2} – 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} leq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{20 x^{2} – 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{20 x^{2} – 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{20 x^{2} – 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
2 + 3*x^2 + 7*x
получим:
$$frac{left(20 x^{2} – 32 x + 3right) left(3 x^{2} + 7 x + 2right)}{3 x^{2} + 7 x + 2} = 0$$
$$20 x^{2} – 32 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 20$$
$$b = -32$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-32)^2 – 4 * (20) * (3) = 784

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{10}$$
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{10}$$
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{10}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{10}$$
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$0$$
=
$$0$$
подставляем в выражение
$$frac{20 x^{2} – 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} leq 0$$

2
20*0 – 32*0 + 3
—————– <= 0 1 / 2 3*0 + 7*0 + 2/

3/2 <= 0

но

3/2 >= 0

Тогда
$$x leq frac{1}{10}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{10} wedge x leq frac{3}{2}$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$left(frac{1}{10} leq x wedge x leq frac{3}{2}right) vee left(-2 < x wedge x < - frac{1}{3}right)$$

(-2, -1/3) U [1/10, 3/2]

$$x in left(-2, – frac{1}{3}right) cup left[frac{1}{10}, frac{3}{2}right]$$