(2*1/(25*x^2-10*x-8)+(25*x^2-10*x-8)*1/2)^2>=4

$$left(frac{1}{2} left(25 x^{2} – 10 x – 8right) + frac{2}{25 x^{2} – 10 x – 8}right)^{2} geq 4$$

Дано неравенство:
$$left(frac{1}{2} left(25 x^{2} – 10 x – 8right) + frac{2}{25 x^{2} – 10 x – 8}right)^{2} geq 4$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(frac{1}{2} left(25 x^{2} – 10 x – 8right) + frac{2}{25 x^{2} – 10 x – 8}right)^{2} = 4$$
Решаем:
$$x_{1} = frac{1}{5} + frac{sqrt{11}}{5}$$
$$x_{2} = frac{1}{5} + frac{sqrt{7}}{5}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{7}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x_{1} = frac{1}{5} + frac{sqrt{11}}{5}$$
$$x_{2} = frac{1}{5} + frac{sqrt{7}}{5}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{7}}{5} + frac{1}{5}$$
Данные корни
$$x_{3} = – frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{7}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x_{2} = frac{1}{5} + frac{sqrt{7}}{5}$$
$$x_{1} = frac{1}{5} + frac{sqrt{11}}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} – frac{1}{10}$$
=

____
1 / 11 1
– – —— – —
5 5 10

=
$$- frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(frac{1}{2} left(25 x^{2} – 10 x – 8right) + frac{2}{25 x^{2} – 10 x – 8}right)^{2} geq 4$$

2
/ 2
| / ____ / ____ |
| |1 / 11 1 | |1 / 11 1 | |
| 25*|- – —— – –| – 10*|- – —— – –| – 8|
| 2 5 5 10/ 5 5 10/ |
|————————————————— + ————————————————| >= 4
| 1 2 |
|/ 2 |
|| / ____ / ____ | |
|| |1 / 11 1 | |1 / 11 1 | | |
||25*|- – —— – –| – 10*|- – —— – –| – 8| |
5 5 10/ 5 5 10/ / /

2
/ 2
| / ____ |
| |1 / 11 | |
| 25*|– – ——| |
| 9 ____ 2 10 5 / |
|- – + / 11 + ——————————— + —————–| >= 4
| 2 2 2 |
| / ____ |
| ____ |1 / 11 | |
| -9 + 2*/ 11 + 25*|– – ——| |
10 5 / /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{5}$$

_____ _____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x3 x4 x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{sqrt{11}}{5} + frac{1}{5}$$
$$x geq – frac{sqrt{7}}{5} + frac{1}{5} wedge x leq frac{1}{5} + frac{sqrt{7}}{5}$$
$$x geq frac{1}{5} + frac{sqrt{11}}{5}$$

$$left(-infty < x wedge x < - frac{2}{5}right) vee left(- frac{2}{5} < x wedge x < frac{4}{5}right) vee left(frac{4}{5} < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, -2/5) U (-2/5, 4/5) U (4/5, oo)

$$x in left(-infty, – frac{2}{5}right) cup left(- frac{2}{5}, frac{4}{5}right) cup left(frac{4}{5}, inftyright)$$