9*log(2*x-8)*1/log(8)

$$frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} leq – frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} + 15$$

Дано неравенство:
$$frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} leq – frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} + 15$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} = – frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} + 15$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} = – frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} + 15$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (2 right )}} left(- 3 log{left (- x + 8 right )} + 3 log{left (x – 4 right )} – 12 log{left (2 right )}right) = 0$$
$$- frac{-1 cdot 3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} – 15 + frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{-1 cdot 3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} – 15 + frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 3*log(8 – x)/2

b1 = log(sqrt(2)/2)

a2 = 1

b2 = 1/(15 – 9*log(-8 + 2*x)/log(8))

зн. получим ур-ние
$$frac{frac{3}{2} log{left (- x + 8 right )}}{- frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} + 15} = log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{- frac{18 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} + 30} = log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

3*log8+x2*+15+9*log-8+2*xlog8)) = log(sqrt(2)/2)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

3*log8+x2*+15+9*log-8+2*xlog8)) = logsqrt/2+2/2)

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

3*log(8 – x)/(2*(15 – 9*log(-8 + 2*x)/log(8))) = logsqrt/2+2/2)

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ ___
3*log(8 – x) |/ 2 |
8 + ————————- = 8 + log|—–|
1 2 /
/ 9*log(-8 + 2*x)
2*|15 – —————|
| 1 |
log (8) /

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{132}{17}$$
$$x_{1} = frac{132}{17}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{132}{17}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1303}{170}$$
=
$$frac{1303}{170}$$
подставляем в выражение
$$frac{9 log{left (2 x – 8 right )}}{log{left (8 right )}} leq – frac{3 log{left (- x + 8 right )}}{2 log{left (frac{1}{sqrt{2}} right )}} + 15$$

/ / 1303
|3*log|8 – —-||
| 170 /|
|—————|
| 1/ 1 |
/2*1303 | log |—–| |
9*log|—— – 8| | | ___| |
170 / / 2 / /
—————– <= 15 - ----------------- 1 1 log (8) 2

-3*log(170) + 3*log(57)
15 – ———————–
-9*log(85) + 9*log(623) / ___
———————– <= |/ 2 | log(8) 2*log|-----| 2 /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{132}{17}$$

_____
——-•——-
x1

132
x = —
17

$$x = frac{132}{17}$$

132
{—}
17

$$x in left{frac{132}{17}right}$$