cos(x)+sqrt(8)*sin(x)>a

$$sqrt{8} sin{left (x right )} + cos{left (x right )} > a$$

Дано неравенство:
$$sqrt{8} sin{left (x right )} + cos{left (x right )} > a$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{8} sin{left (x right )} + cos{left (x right )} = a$$
Решаем:
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} – 2 sqrt{2}right) right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} + 2 sqrt{2}right) right )}$$
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} – 2 sqrt{2}right) right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} + 2 sqrt{2}right) right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} – 2 sqrt{2}right) right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} + 2 sqrt{2}right) right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

/ ________
| / 2 ___|
|/ 9 – a – 2*/ 2 | 1
– 2*atan|———————| – —
| 1 | 10
(1 + a) /

=
$$- 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} – 2 sqrt{2}right) right )} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{8} sin{left (x right )} + cos{left (x right )} > a$$

/ / ________ / / ________
| | / 2 ___| | | | / 2 ___| |
| |/ 9 – a – 2*/ 2 | 1 | ___ | |/ 9 – a – 2*/ 2 | 1 |
cos|- 2*atan|———————| – –| + / 8 *sin|- 2*atan|———————| – –| > a
| | 1 | 10| | | 1 | 10|
(1 + a) / / (1 + a) / /

/ / ________ / / ________
| | / 2 ___|| | | / 2 ___||
___ |1 |/ 9 – a – 2*/ 2 || |1 |/ 9 – a – 2*/ 2 || > a
– 2*/ 2 *sin|– + 2*atan|———————|| + cos|– + 2*atan|———————||
10 1 + a // 10 1 + a //

Тогда
$$x < - 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} - 2 sqrt{2}right) right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} – 2 sqrt{2}right) right )} wedge x < 2 {atan}{left (frac{1}{a + 1} left(sqrt{- a^{2} + 9} + 2 sqrt{2}right) right )}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2