log(3*x^2+64)*1/log(3/10)

$$frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (frac{3}{10} right )}} left(- 2 log{left (x + 24 right )} + log{left (3 x^{2} + 64 right )}right) = 0$$
$$- frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} + frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (10 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} + frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(64 + 3*x^2)

b1 = -log(10) + log(3)

a2 = 2*log(24 + x)

b2 = -log(10) + log(3)

зн. получим ур-ние
$$left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (3 x^{2} + 64 right )} = left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) 2 log{left (x + 24 right )}$$
$$left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (3 x^{2} + 64 right )} = 2 left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (x + 24 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+10 + log3)*log64+3*x+2 = 2*(-log(10) + log(3))*log(24 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+10 + log3)*log64+3*x+2 = -2*log+2*10 + log3)*log24+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-log(10) + log(3))*log(64 + 3*x^2) = -2*log+2*10 + log3)*log24+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (10 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = 32$$
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = 32$$
Данные корни
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = 32$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{81}{10}$$
=
$$- frac{81}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (3 x^{2} + 64 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{2 log{left (x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
$$frac{log{left (64 + 3 left(- frac{81}{10}right)^{2} right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{2 log{left (- frac{81}{10} + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$

-log(100) + log(26083) -2*log(10) + 2*log(159)
———————- <= ----------------------- -log(10) + log(3) -log(10) + log(3)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq -8$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq -8$$
$$x geq 32$$

$$left(32 leq x wedge x < inftyright) vee left(x leq -8 wedge -infty < xright)$$

(-oo, -8] U [32, oo)

$$x in left(-infty, -8right] cup left[32, inftyright)$$