log(5)*1/log((sqrt(3)+sqrt(19))*1/6)>=log(7-2^x)*1/log((sqrt(3)+sqrt(19))*1/6)

$$frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} geq frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} geq frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} = frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} = frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )}} left(- log{left (- 2^{x} + 7 right )} + log{left (5 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} + frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} + frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(5)

b1 = log(sqrt(3)/6 + sqrt(19)/6)

a2 = log(7 – 2^x)

b2 = log(sqrt(3)/6 + sqrt(19)/6)

зн. получим ур-ние
$$log{left (5 right )} log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )} = log{left (- 2^{x} + 7 right )} log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )}$$
$$log{left (5 right )} log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )} = log{left (- 2^{x} + 7 right )} log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log5logsqrt/6+3/6 + sqrt19/6) = log(7 – 2^x)*log(sqrt(3)/6 + sqrt(19)/6)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log5logsqrt/6+3/6 + sqrt19/6) = log7+2+xlogsqrt/6+3/6 + sqrt19/6)

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(5)*log(sqrt(3)/6 + sqrt(19)/6) = log(7 – 2^x)*log(sqrt(3)/6 + sqrt(19)/6)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (frac{sqrt{3}}{6} + frac{sqrt{19}}{6} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (5 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}} geq frac{log{left (- 2^{x} + 7 right )}}{log{left (frac{1}{6} left(sqrt{3} + sqrt{19}right) right )}}$$

/ 9/10
log(5) log7 – 2 /
——————– >= ——————–
/ ___ ____ / ___ ____
1|/ 3 + / 19 | 1|/ 3 + / 19 |
log |————–| log |————–|
6 / 6 /

log(5) / 9/10
——————- log7 – 2 /
/ ___ ____ ——————-
|/ 3 / 19 | >= / ___ ____
log|—– + ——| |/ 3 / 19 |
6 6 / log|—– + ——|
6 6 /

но

log(5) / 9/10
——————- log7 – 2 /
/ ___ ____ ——————-
|/ 3 / 19 | < / ___ ____ log|----- + ------| |/ 3 / 19 | 6 6 / log|----- + ------| 6 6 /

Тогда
$$x leq 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 1$$

_____
/
——-•——-
x1

$$1 leq x wedge x < infty$$

[1, oo)

$$x in left[1, inftyright)$$