log(5)*(3*x+2)

$$left(3 x + 2right) log{left (5 right )} leq left(x – 1right) log{left (5 right )}$$

Дано неравенство:
$$left(3 x + 2right) log{left (5 right )} leq left(x – 1right) log{left (5 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(3 x + 2right) log{left (5 right )} = left(x – 1right) log{left (5 right )}$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(5)*(3*x+2) = log(5)*(x-1)

Раскрываем выражения:

2*log(5) + 3*x*log(5) = log(5)*(x-1)

2*log(5) + 3*x*log(5) = -log(5) + x*log(5)

Сокращаем, получаем:

3*log(5) + 2*x*log(5) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

3*log5 + 2*x*log5 = 0

Разделим обе части ур-ния на (3*log(5) + 2*x*log(5))/x

x = 0 / ((3*log(5) + 2*x*log(5))/x)

Получим ответ: x = -3/2
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{8}{5}$$
=
$$- frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$left(3 x + 2right) log{left (5 right )} leq left(x – 1right) log{left (5 right )}$$
$$left(frac{-24}{5} 1 + 2right) log{left (5 right )} leq left(- frac{8}{5} – 1right) log{left (5 right )}$$

-14*log(5) -13*log(5)
———- <= ---------- 5 5

значит решение неравенства будет при:
$$x leq – frac{3}{2}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq – frac{3}{2} wedge -infty < x$$

(-oo, -3/2]

$$x in left(-infty, – frac{3}{2}right]$$