log(sqrt(6-x)+2)*1/log(5-x)

$$frac{log{left (sqrt{- x + 6} + 2 right )}}{log{left (- x + 5 right )}} leq 1$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (sqrt{- x + 6} + 2 right )}}{log{left (- x + 5 right )}} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (sqrt{- x + 6} + 2 right )}}{log{left (- x + 5 right )}} = 1$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

____
5 / 13 1
– – —— – —
2 2 10

=
$$- frac{sqrt{13}}{2} + frac{12}{5}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (sqrt{- x + 6} + 2 right )}}{log{left (- x + 5 right )}} leq 1$$

/ _____________________
| / ____ |
| / 5 / 13 1 |
log| / 6 – – – —— – — + 2|
/ 2 2 10 /
———————————– <= 1 / ____ 1| 5 / 13 1 | log |5 - - - ------ - --| 2 2 10/

/ _____________
| / ____ |
| / 18 / 13 |
log|2 + / — + —— |
/ 5 2 /
————————— <= 1 / ____ |13 / 13 | log|-- + ------| 5 2 /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}$$

_____
——-•——-
x1

$$left(x leq – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2} wedge -infty < xright) vee left(x leq frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2} wedge 4 < xright)$$

____ ____
5 / 13 5 / 13
(-oo, – – ——] U (4, – + ——]
2 2 2 2

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}right] cup left(4, frac{sqrt{13}}{2} + frac{5}{2}right]$$