log(x^2+x-3)*1/log(1/3)+log(log(49)*1/log(sqrt(7)))*1/log(2)

$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} < 0$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = 0$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- log{left (x^{2} + x – 3 right )} + log{left (9 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} + x – 3 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(log(49)/log(sqrt(7)))

b1 = log(2)

a2 = log(-3 + x + x^2)

b2 = log(3)

зн. получим ур-ние
$$log{left (3 right )} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = log{left (2 right )} log{left (x^{2} + x – 3 right )}$$
$$log{left (3 right )} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} = log{left (2 right )} log{left (x^{2} + x – 3 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log3loglog+49logsqrt+7)) = log(2)*log(-3 + x + x^2)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log3loglog+49logsqrt+7)) = log2log-3+x+x+2

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(3)*log(log(49)/log(sqrt(7))) = log(2)*log(-3 + x + x^2)

Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:

/ log(49) / 2
-x + log(3)*log|———–| = -x + log(2)*log -3 + x + x /
| 1/ ___|
log / 7 //

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} + x – 3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x^{2} + x – 3 right )}}{log{left (frac{1}{3} right )}} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} < 0$$
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (-3 + – frac{41}{10} + left(- frac{41}{10}right)^{2} right )} + frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (frac{log{left (49 right )}}{log{left (sqrt{7} right )}} right )} < 0$$

/ log(49)
log|———-|
| / ___|
log/ 7 // -log(100) + log(971) < 0 --------------- - -------------------- log(2) log(3)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -4$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -4$$
$$x > 3$$

$$left(-infty < x wedge x < -4right) vee left(3 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, -4) U (3, oo)

$$x in left(-infty, -4right) cup left(3, inftyright)$$