sin(x)^6+cos(x)^6>1/4

$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > frac{1}{4}$$

Дано неравенство:
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} = frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} = frac{1}{4}$$
преобразуем
$$frac{3}{8} cos{left (4 x right )} + frac{3}{8} = 0$$
$$frac{3}{8} cos{left (4 x right )} + frac{3}{8} = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (4 x right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$frac{3 w}{8} = – frac{3}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на 3/8

w = -3/8 / (3/8)

Получим ответ: w = -1
делаем обратную замену
$$cos{left (4 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (4 x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (w_{1} right )} – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4}$$
$$x_{1} = – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{4}$$
$$x_{1} = – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

3*pi 1
– —- – —
4 10

=
$$- frac{3 pi}{4} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > frac{1}{4}$$

6/ 3*pi 1 6/ 3*pi 1
sin |- —- – –| + cos |- —- – –| > 1/4
4 10/ 4 10/

6/1 pi 6/1 pi
cos |– + –| + sin |– + –| > 1/4
10 4 / 10 4 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - frac{3 pi}{4}$$

_____ _____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-ο——-
x1 x2 x3 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - frac{3 pi}{4}$$
$$x > – frac{pi}{4} wedge x < frac{pi}{4}$$
$$x > frac{3 pi}{4}$$

/ / -3*pi /-3*pi -pi /-pi pi /pi 3*pi /3*pi
Or|And|-oo < x, x < -----|, And|----- < x, x < ----|, And|---- < x, x < --|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo|| 4 / 4 4 / 4 4 / 4 4 / 4 //

$$left(-infty < x wedge x < - frac{3 pi}{4}right) vee left(- frac{3 pi}{4} < x wedge x < - frac{pi}{4}right) vee left(- frac{pi}{4} < x wedge x < frac{pi}{4}right) vee left(frac{pi}{4} < x wedge x < frac{3 pi}{4}right) vee left(frac{3 pi}{4} < x wedge x < inftyright)$$

-3*pi -3*pi -pi -pi pi pi 3*pi 3*pi
(-oo, —–) U (—–, —-) U (—-, –) U (–, —-) U (—-, oo)
4 4 4 4 4 4 4 4

$$x in left(-infty, – frac{3 pi}{4}right) cup left(- frac{3 pi}{4}, – frac{pi}{4}right) cup left(- frac{pi}{4}, frac{pi}{4}right) cup left(frac{pi}{4}, frac{3 pi}{4}right) cup left(frac{3 pi}{4}, inftyright)$$