На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Чтобы исследовать функцию x^2 + x + 4 с помощью производной, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найди производную функции. Производная функции f(x) = x^2 + x + 4 будет равна f'(x) = 2x + 1.
2. Найди точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение 2x + 1 = 0. Получаем x = -1/2.
3. Найди значение второй производной в точках, где производная равна нулю. Возьми вторую производную функции f(x) = x^2 + x + 4, которая будет равна f”(x) = 2. Значение второй производной равно 2 в любой точке.
4. Изучи знак производной слева и справа от точек, где производная равна нулю. Разбиваем ось чисел на интервалы: x < -1/2, -1/2 < x < +∞ и -∞ < x < -1/2.
a) Для интервала x < -1/2: Подставим любое значение x < -1/2 в производную f'(x) = 2x + 1. Если x < -1/2, то 2x < -1 и 2x + 1 < 0. Значит, производная отрицательна на данном интервале.
b) Для интервала -1/2 < x < +∞: Подставим любое значение x > -1/2 в производную f'(x) = 2x + 1. Если x > -1/2, то 2x > -1 и 2x + 1 > 0. Значит, производная положительна на данном интервале.
c) Для интервала -∞ < x < -1/2: Очевидно, что f'(x) < 0 на данном интервале, так как 2x + 1 < 0.
5. Анализируй экстремумы функции. Так как значение производной меняется от отрицательного к положительному при x = -1/2, у функции есть локальный минимум в точке x = -1/2.
6. Определи способ поведения функции на бесконечностях. При x стремящемся к -∞ или +∞, функция x^2 + x + 4 стремится к плюс бесконечности.
Таким образом, исследовав функцию x^2 + x + 4 с помощью производной, мы нашли локальный минимум в точке x = -1/2, установили, что функция положительна на интервале -1/2 < x < +∞, отрицательна на интервале x < -1/2 и стремится к плюс бесконечности при x стремящемся к -∞ или +∞.
