Для начала найдем вектор AM, используя свойство биссектрисы.
AM-биссектриса делит сторону BC на отрезки BM и MC, пропорциональные длинам сторон AB и AC соответственно. То есть, мы можем записать:
AB/AM = AC/AM
Векторное равенство можно переписать как:
AB = (AC/AM) * AM
Теперь, выразим вектор AM:
AM = (AC / AB) * AB
Подставим вектора AB и AC:
AM = (b / a) * a
Таким образом, мы выразили вектор AM через векторы AB и AC.
Теперь найдем координаты вектора AM в базисе {a, b}.
Пусть координаты вектора AM в этом базисе равны (x, y), то есть:
AM = x * a + y * b
Теперь подставим значение для AM, которое мы получили выше, и приравняем координаты:
(b / a) * a = x * a + y * b
Раскрываем скобки:
b = x * a + y * b
Теперь сгруппируем векторы a и b:
b – y * b = x * a
Упростим:
(1 – y) * b = x * a
Теперь, используем условия о длинах векторов a и b:
a * a = 4
a * b = 11/2
b * b = 16
Выразим a * a и a * b через координаты векторов a и b:
a * a = (4, 0) * (x, y) = 4x
a * b = (4, 0) * (1, y) = 4 + 0 = 4
Таким образом, получаем систему уравнений:
(1 – y) * b = x * a
4x = 4
Первое уравнение можно еще упростить:
b – y * b = x * a
b(1 – y) = x * a
Теперь, найдем значения координат вектора AM из системы уравнений:
4 = 4x
x = 1
b(1 – y) = a
b(1 – y) = (2, 0)
(1 – y) * b = (2, 0)
1 – y = 2
y = -1
Таким образом, координаты вектора AM в базисе {a, b} равны (1, -1). ответ