Производная 4*sin(pi*x/3)^(2)

$$4 sin^{2}{left (frac{pi x}{3} right )}$$

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим
      u = sin{left (frac{pi x}{3} right )}
      .

   2. В силу правила, применим:
      u^{2}
      получим
      2 u

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} sin{left (frac{pi x}{3} right )}
      :

      1. Заменим
         u = frac{pi x}{3}
         .

      2. Производная синуса есть косинус:

         frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(frac{pi x}{3}right)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               pi

            Таким образом, в результате:
            frac{pi}{3}

         В результате последовательности правил:

         frac{pi}{3} cos{left (frac{pi x}{3} right )}

      В результате последовательности правил:

      frac{2 pi}{3} sin{left (frac{pi x}{3} right )} cos{left (frac{pi x}{3} right )}

   Таким образом, в результате:
   frac{8 pi}{3} sin{left (frac{pi x}{3} right )} cos{left (frac{pi x}{3} right )}

2. Теперь упростим:

   frac{4 pi}{3} sin{left (frac{2 pi}{3} x right )}

---

Ответ:

frac{4 pi}{3} sin{left (frac{2 pi}{3} x right )}

/pi*x /pi*x
8*pi*cos|—-|*sin|—-|
3 / 3 /
————————
3

$$frac{8 pi}{3} sin{left (frac{pi x}{3} right )} cos{left (frac{pi x}{3} right )}$$

Вторая производная

2 / 2/pi*x 2/pi*x
8*pi *|cos |—-| – sin |—-||
3 / 3 //
——————————-
9

$$frac{8 pi^{2}}{9} left(- sin^{2}{left (frac{pi x}{3} right )} + cos^{2}{left (frac{pi x}{3} right )}right)$$

Третья производная

3 /pi*x /pi*x
-32*pi *cos|—-|*sin|—-|
3 / 3 /
—————————
27

$$- frac{32 pi^{3}}{27} sin{left (frac{pi x}{3} right )} cos{left (frac{pi x}{3} right )}$$