Интеграл cos(x/3)-sin(3*x) (dx)

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – sin{left (3 x right )}, dx = – int sin{left (3 x right )}, dx

      1. пусть
         u = 3 x
         .

         Тогда пусть
         du = 3 dx
         и подставим
         frac{du}{3}
         :

         int sin{left (u right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int sin{left (u right )}, du = frac{1}{3} int sin{left (u right )}, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               int sin{left (u right )}, du = – cos{left (u right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{1}{3} cos{left (u right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         – frac{1}{3} cos{left (3 x right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{1}{3} cos{left (3 x right )}

   1. пусть
      u = frac{x}{3}
      .

      Тогда пусть
      du = frac{dx}{3}
      и подставим
      3 du
      :

      int cos{left (u right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int cos{left (u right )}, du = 3 int cos{left (u right )}, du
         $$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         3 sin{left (u right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      3 sin{left (frac{x}{3} right )}

   Результат есть:
   3 sin{left (frac{x}{3} right )} + frac{1}{3} cos{left (3 x right )}

2. Теперь упростить:

   3 sin{left (frac{x}{3} right )} + frac{1}{3} cos{left (3 x right )}
   $$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   3 sin{left (frac{x}{3} right )} + frac{1}{3} cos{left (3 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

3 sin{left (frac{x}{3} right )} + frac{1}{3} cos{left (3 x right )}+ mathrm{constant}

1
/
|
| / /x 1 cos(3)
| |cos|-| – sin(3*x)| dx = – – + 3*sin(1/3) + ——
| 3/ / 3 3
|
/
0

0.318253258188308

/
|
| / /x /x cos(3*x)
| |cos|-| – sin(3*x)| dx = C + 3*sin|-| + ——–
| 3/ / 3/ 3
|
/