Интеграл (sin(x))^4 (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   sin^{4}{left (x right )} = left(- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{2}

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   left(- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{2} = frac{1}{4} cos^{2}{left (2 x right )} – frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{4}

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{4} cos^{2}{left (2 x right )}, dx = frac{1}{4} int cos^{2}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         cos^{2}{left (2 x right )} = frac{1}{2} cos{left (4 x right )} + frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int frac{1}{2} cos{left (4 x right )}, dx = frac{1}{2} int cos{left (4 x right )}, dx

            1. пусть
               u = 4 x
               .

               Тогда пусть
               du = 4 dx
               и подставим
               frac{du}{4}
               :

               int cos{left (u right )}, du

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  int cos{left (u right )}, du = frac{1}{4} int cos{left (u right )}, du
                  $$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $$
                     int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                     $$

                  Таким образом, результат будет: $$
                  frac{1}{4} sin{left (u right )}
                  $$

               Если сейчас заменить $$
               u
               ещё в:

               frac{1}{4} sin{left (4 x right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{8} sin{left (4 x right )}

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

         Результат есть:
         frac{x}{2} + frac{1}{8} sin{left (4 x right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{x}{8} + frac{1}{32} sin{left (4 x right )}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – frac{1}{2} cos{left (2 x right )}, dx = – frac{1}{2} int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
         u = 2 x
         .

         Тогда пусть
         du = 2 dx
         и подставим
         frac{du}{2}
         :

         int cos{left (u right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $$
               int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} sin{left (u right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      – frac{1}{4} sin{left (2 x right )}

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int frac{1}{4}, dx = frac{x}{4}

   Результат есть:
   frac{3 x}{8} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{1}{32} sin{left (4 x right )}
   $$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{3 x}{8} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{1}{32} sin{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{3 x}{8} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{1}{32} sin{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

1
/
| 3
| 4 3 3*cos(1)*sin(1) sin (1)*cos(1)
| sin (x) dx = – – ————— – ————–
| 8 8 4
/
0

0.124025565315207

/
|
| 4 sin(2*x) sin(4*x) 3*x
| sin (x) dx = C – ——– + ——– + —
| 4 32 8
/