Метод Зейделя – это численный метод для решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Он основывается на итерациях, при которых значения переменных обновляются по одной, используя предыдущие значения других переменных.
Шаги решения методом Зейделя:
1. Записываем систему уравнений в матричной форме: Ax = b, где A – матрица коэффициентов, x – вектор переменных, b – вектор правых частей. В данном случае:
A = [[3, 1, -1, 1],
[3, -4, 1, -1],
[-1, 1, 4, 1],
[-1, 2, 1, -5]]
b = [6, 15, -6, 23]
x = [x1, x2, x3, x4]
2. Разделим матрицу А на две части: D – диагональные элементы, L+U – остальные элементы, где L – нижняя треугольная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, и U – верхняя треугольная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
3. Разделяем вектор x на две части: x_old – предыдущее значение, x_new – новое значение.
4. Задаем начальное приближение для вектора x_old. В данном случае, x_old = [14.7, 1, 2, 0.5].
5. Для каждого уравнения итерационно вычисляем новое значение переменной.
– Для первого уравнения: x1_new = (b1 – (L1 * x_new) – (U1 * x_old)) / D1
– Для второго уравнения: x2_new = (b2 – (L2 * x_new) – (U2 * x_old)) / D2
– Для третьего уравнения: x3_new = (b3 – (L3 * x_new) – (U3 * x_old)) / D3
– Для четвертого уравнения: x4_new = (b4 – (L4 * x_new) – (U4 * x_old)) / D4
Где D1, D2, D3, D4 – диагональные элементы матрицы A.
L1, L2, L3, L4 – нижняя треугольная матрица A без диагонали.
U1, U2, U3, U4 – верхняя треугольная матрица A без диагонали.
6. Повторяем шаг 5 до тех пор, пока разница между x_new и x_old не станет достаточно малой.
7. Получаем решение СЛАУ: x = [x1_new, x2_new, x3_new, x4_new].
Таким образом, решая эту СЛАУ методом Зейделя с начальным приближением [14.7, 1, 2, 0.5], мы последовательно вычисляем новые значения переменных x до достижения приемлемой точности.