Для нахождения производной функции y = 2^(-x) – 2^(-2x) нужно использовать правило дифференцирования сложной функции. Шаги решения:
1. Найдем производную первого слагаемого: y₁ = 2^(-x).
Применим правило дифференцирования функции a^x, где a – постоянная:
y₁’ = -ln(a) * a^x.
В нашем случае a = 2, поэтому y₁’ = -ln(2) * 2^(-x).
2. Найдем производную второго слагаемого: y₂ = 2^(-2x).
Также применим правило дифференцирования функции a^x:
y₂’ = -ln(a) * a^x.
В нашем случае a = 2, поэтому y₂’ = -ln(2) * 2^(-2x).
3. Теперь найдем производную исходной функции y = y₁ – y₂:
y’ = y₁’ – y₂’.
Подставим найденные значения выражений для y₁’ и y₂’:
y’ = -ln(2) * 2^(-x) – (-ln(2) * 2^(-2x)).
Упростим выражение:
y’ = -ln(2) * 2^(-x) + ln(2) * 2^(-2x).
4. Подставим значение x = 2 в полученное выражение:
y'(2) = -ln(2) * 2^(-2) + ln(2) * 2^(-4).
Расчитаем значение:
y'(2) = -ln(2) * 0.25 + ln(2) * 0.0625.
Упростим выражение:
y'(2) = -0.25ln(2) + 0.0625ln(2).
Таким образом, производная функции y = 2^(-x) – 2^(-2x) при x = 2 равна -0.25ln(2) + 0.0625ln(2).