Пусть B = {u1, u2} и B’ = {v1, v2} являются основаниями R 2 , где B-канонический базис, а v1 = (1, 1), v2 = (-1, 0). (i) Выражает векторы B в базисе B’ . (ii) Матрица перехода от B к B’ это P = и значение от B’ до B равно T =

(i) Чтобы выразить векторы B в базисе B’, нужно найти координаты каждого вектора B в базисе B’ и записать их векторами-столбцами.

Для первого вектора u1:
u1 = α1v1 + α2v2, где α1 и α2 – координаты вектора u1 в базисе B’.
Заменяем v1 и v2 значениями из условия:
(2, 0) = α1(1, 1) + α2(-1, 0)
Раскрываем скобки и приравниваем координаты:
2 = α1 – α2
0 = α1

Решая эти уравнения, получаем α1 = 0 и α2 = 2.
Таким образом, вектор u1 в базисе B’ имеет координаты (0, 2).

Аналогично, для вектора u2:
u2 = β1v1 + β2v2, где β1 и β2 – координаты вектора u2 в базисе B’.
(0, -1) = β1(1, 1) + β2(-1, 0)
раскрываем скобки и приравниваем координаты:
0 = β1 – β2
-1 = β1

Решая эти уравнения, получаем β1 = -1 и β2 = -1.
Таким образом, вектор u2 в базисе B’ имеет координаты (-1, -1).

(ii) Чтобы найти матрицу перехода от B к B’, нужно записать координаты векторов базиса B’ в столбцы и составить из них матрицу.

Матрица перехода P от B к B’ имеет вид:
P = [v1 | v2] = [1 -1 | 1 0]

Чтобы найти матрицу перехода от B’ к B, нужно найти обратную матрицу P^-1 и записать ее.

Матрица P^-1 будет иметь вид:
P^-1 = 1/(1*0 – (-1)*1) * [0 1 | -1 1] = [0 1 | -1 1]

Таким образом, матрица перехода от B’ к B равна:
T = P^-1 = [0 1 | -1 1]