Чтобы составить уравнение касательной плоскости к поверхности в заданной точке M0(-1;1), мы должны найти ее нормальный вектор и используя его и координаты точки M0 составить уравнение плоскости.
1. Для начала, найдем градиент функции z=3x^2(x^2-2y). Градиент функции — это вектор, который указывает направление наибольшего изменения функции в заданной точке M0. Для этого найдем частные производные функции по x и y:
∂z/∂x = 6x(x^2-2y) + 6x^2 = 6x^3 – 12xy + 6x^2
∂z/∂y = -6x^2
2. Подставим координаты точки M0(-1;1) в частные производные и найдем соответствующие значения:
∂z/∂x = 6(-1)^3 – 12(-1)(1) + 6(-1)^2 = -6 – 12 – 6 = -24
∂z/∂y = -6(-1)^2 = -6
3. Теперь мы имеем нормальный вектор (−24, −6) к касательной плоскости в точке M0.
4. Используя формулу уравнения плоскости, получим:
-24(x – (-1)) – 6(y – 1) + z = 0
5. Упростив уравнение, получим окончательный ответ:
-24x – 6y + z + 24 + 6 – 3x^2(x^2-2y) = 0
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности z=3x^2(x^2-2y) в точке M0(-1;1) имеет вид:
-24x – 6y + z + 30 + 3x^2(x^2-2y) = 0.