Чтобы найти значение производной y'(x) при y=ln(5), мы должны найти t, соответствующее этому значению y, и затем вычислить производную y'(x) в этой точке.
Дана параметрическая формула функции: x(t)=t-arctan(t), y(t)=ln(1+t^2), t<0. Сначала найдем t, соответствующее y=ln(5). ln(1+t^2) = ln(5) 1+t^2 = 5 t^2 = 4 t = -2 (поскольку t<0) Теперь найдем производную y'(x) в этой точке. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y'(x) = (dy/dt) / (dx/dt) = (dy/dt) / (1 - (1+t^2)^(-1)) Дифференцируем y(t): dy/dt = d(ln(1+t^2))/dt По правилу цепочки получим: dy/dt = 2t / (1+t^2) Теперь вычислим dx/dt: dx/dt = d(t-arctan(t))/dt = 1 - d(arctan(t))/dt Теперь найдем d(arctan(t))/dt: d(arctan(t))/dt = 1 / (1+t^2) * dt/dt = 1 / (1+t^2) Подставим значения dy/dt и dx/dt в формулу для y'(x): y'(x) = (2t / (1+t^2)) / (1 - (1+t^2)^(-1)) Подставим t = -2 и упростим: y'(-2) = (2(-2) / (1+(-2)^2)) / (1 - (1+(-2)^2)^(-1)) y'(-2) = (-4 / 5) / (1 - (1+4)^(-1)) y'(-2) = (-4 / 5) / (1 - (5)^(-1)) y'(-2) = (-4 / 5) / (1 - 1/5) y'(-2) = (-4 / 5) / (4 / 5) y'(-2) = -4 / 4 y'(-2) = -1 Таким образом, y'(-2) = -1. Шаги решения: 1. Найдите t, соответствующее значению y=ln(5) путем решения уравнения ln(1+t^2) = ln(5). 2. Вычислите dy/dt, используя правило дифференцирования функции ln(1+t^2). 3. Вычислите dx/dt, используя правило дифференцирования функции x(t)=t-arctan(t). 4. Подставьте значения dy/dt и dx/dt в формулу y'(x) = (dy/dt) / (dx/dt). 5. Подставьте найденное значение t в формулу для y'(x) и упростите его. 6. Получите значение y'(x) при y=ln(5). В данном случае y'(-2) = -1.