Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения мы можем использовать метод вариации постоянных, который состоит из следующих шагов:
1. Определим общее решение соответствующего однородного уравнения y” + 4y’ + 4y = 0. Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид r² + 4r + 4 = 0. Его корни определяются как r₁ = r₂ = -2. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид y_h(x) = c₁ * e^(-2x) + c₂ * x * e^(-2x), где c₁ и c₂ – произвольные константы.
2. Заменим константы c₁ и c₂ в общем решении на функции c₁(x) и c₂(x), соответственно: y(x) = c₁(x) * e^(-2x) + c₂(x) * x * e^(-2x).
3. Найдем производные этого частного решения: y'(x) = c₁'(x) * e^(-2x) – 2c₁(x) * e^(-2x) + c₂'(x) * x * e^(-2x) – 2c₂(x) * e^(-2x) + c₂(x) * e^(-2x).
4. Подставим частное решение y(x) и его производные в исходное уравнение и упростим полученное выражение.
5. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и найдем соответствующие значения c₁'(x) и c₂'(x).
6. Интегрируем эти значения для получения функций c₁(x) и c₂(x).
7. Подставим полученные функции c₁(x) и c₂(x) в частное решение y(x), чтобы получить полное решение уравнения.
Теперь мы можем провести указанные выше шаги для исходного уравнения y” + 4 y’ + 4y = x² и найти полное решение этого уравнения.