log(1/7)*(5*x+3)>=-1/2

$$left(5 x + 3right) log{left (frac{1}{7} right )} geq – frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$left(5 x + 3right) log{left (frac{1}{7} right )} geq – frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(5 x + 3right) log{left (frac{1}{7} right )} = – frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(1/7)*(5*x+3) = -1/2

Раскрываем выражения:

-3*log(7) – 5*x*log(7) = -1/2

Сокращаем, получаем:

1/2 – 3*log(7) – 5*x*log(7) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

1/2 – 3*log7 – 5*x*log7 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

-3*log(7) – 5*x*log(7) = -1/2

Разделим обе части ур-ния на (-3*log(7) – 5*x*log(7))/x

x = -1/2 / ((-3*log(7) – 5*x*log(7))/x)

Получим ответ: x = (1 – log(117649))/(10*log(7))
$$x_{1} = frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}}$$
$$x_{1} = frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

1 – log(117649) 1
————— – —
1 10
10*log (7)

=
$$frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(5 x + 3right) log{left (frac{1}{7} right )} geq – frac{1}{2}$$

/ /1 – log(117649) 1
log(1/7)*|5*|————— – –| + 3| >= -1/2
| | 1 10| |
10*log (7) / /

/5 1 – log(117649)
-|- + —————|*log(7) >= -1/2
2 2*log(7) /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}}$$

_____
——-•——-
x1

/ 1 – log(117649)
And|x <= ---------------, -oo < x| 10*log(7) /

$$x leq frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}} wedge -infty < x$$

1 – log(117649)
(-oo, —————]
10*log(7)

$$x in left(-infty, frac{- log{left (117649 right )} + 1}{10 log{left (7 right )}}right]$$