log(24-7*x)*1/log(3/10)

$$frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (frac{3}{10} right )}} left(log{left (- 7 x + 24 right )} – log{left (- x + 13 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} + frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (10 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} + frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(24 – 7*x)

b1 = -log(10) + log(3)

a2 = log(13 – x)

b2 = -log(10) + log(3)

зн. получим ур-ние
$$left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- 7 x + 24 right )} = left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x + 13 right )}$$
$$left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- 7 x + 24 right )} = left(- log{left (10 right )} + log{left (3 right )}right) log{left (- x + 13 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+10 + log3)*log24+7*x = (-log(10) + log(3))*log(13 – x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+10 + log3)*log24+7*x = -log+10 + log3)*log13+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (10 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{11}{6}$$
$$x_{1} = frac{11}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{11}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{26}{15}$$
=
$$frac{26}{15}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (- 7 x + 24 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}} leq frac{log{left (- x + 13 right )}}{log{left (frac{3}{10} right )}}$$

/ 7*26 / 26
log|24 – —-| log|13 – –|
15 / 15/
————– <= ------------ 1 1 log (3/10) log (3/10)

-log(15) + log(178) -log(15) + log(169)
——————- <= ------------------- -log(10) + log(3) -log(10) + log(3)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{11}{6}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq frac{11}{6} wedge -infty < x$$

(-oo, 11/6]

$$x in left(-infty, frac{11}{6}right]$$