Производная (sin(4*x))^2/sqrt(cos(6*x))

$$frac{sin^{2}{left (4 x right )}}{sqrt{cos{left (6 x right )}}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = sin^{2}{left (4 x right )}
   и
   g{left (x right )} = sqrt{cos{left (6 x right )}}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = sin{left (4 x right )}
      .

   2. В силу правила, применим:
      u^{2}
      получим
      2 u

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} sin{left (4 x right )}
      :

      1. Заменим
         u = 4 x
         .

      2. Производная синуса есть косинус:

         frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(4 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            4

         В результате последовательности правил:

         4 cos{left (4 x right )}

      В результате последовательности правил:

      8 sin{left (4 x right )} cos{left (4 x right )}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = cos{left (6 x right )}
      .

   2. В силу правила, применим:
      sqrt{u}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{u}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} cos{left (6 x right )}
      :

      1. Заменим
         u = 6 x
         .

      2. Производная косинус есть минус синус:

         frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(6 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            6

         В результате последовательности правил:

         – 6 sin{left (6 x right )}

      В результате последовательности правил:

      – frac{3 sin{left (6 x right )}}{sqrt{cos{left (6 x right )}}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{cos{left (6 x right )}} left(frac{3 sin^{2}{left (4 x right )}}{sqrt{cos{left (6 x right )}}} sin{left (6 x right )} + 8 sin{left (4 x right )} cos{left (4 x right )} sqrt{cos{left (6 x right )}}right)

2. Теперь упростим:

   frac{sin{left (4 x right )}}{cos^{frac{3}{2}}{left (6 x right )}} left(3 sin{left (4 x right )} sin{left (6 x right )} + 8 cos{left (4 x right )} cos{left (6 x right )}right)

---

Ответ:

frac{sin{left (4 x right )}}{cos^{frac{3}{2}}{left (6 x right )}} left(3 sin{left (4 x right )} sin{left (6 x right )} + 8 cos{left (4 x right )} cos{left (6 x right )}right)

2
3*sin (4*x)*sin(6*x) 8*cos(4*x)*sin(4*x)
——————– + ——————-
3/2 __________
cos (6*x) / cos(6*x)

$$frac{3 sin^{2}{left (4 x right )}}{cos^{frac{3}{2}}{left (6 x right )}} sin{left (6 x right )} + frac{8 cos{left (4 x right )}}{sqrt{cos{left (6 x right )}}} sin{left (4 x right )}$$

Вторая производная

2 2
2 2 27*sin (4*x)*sin (6*x) 48*cos(4*x)*sin(4*x)*sin(6*x)
– 14*sin (4*x) + 32*cos (4*x) + ———————- + —————————–
2 cos(6*x)
cos (6*x)
————————————————————————————–
__________
/ cos(6*x)

$$frac{1}{sqrt{cos{left (6 x right )}}} left(frac{27 sin^{2}{left (4 x right )}}{cos^{2}{left (6 x right )}} sin^{2}{left (6 x right )} – 14 sin^{2}{left (4 x right )} + frac{48 cos{left (4 x right )}}{cos{left (6 x right )}} sin{left (4 x right )} sin{left (6 x right )} + 32 cos^{2}{left (4 x right )}right)$$

Третья производная

2 2 2 3 2
90*sin (4*x)*sin(6*x) 288*cos (4*x)*sin(6*x) 405*sin (4*x)*sin (6*x) 648*sin (6*x)*cos(4*x)*sin(4*x)
-80*cos(4*x)*sin(4*x) + ——————— + ———————- + ———————– + ——————————-
cos(6*x) cos(6*x) 3 2
cos (6*x) cos (6*x)
———————————————————————————————————————————-
__________
/ cos(6*x)

$$frac{1}{sqrt{cos{left (6 x right )}}} left(frac{405 sin^{2}{left (4 x right )}}{cos^{3}{left (6 x right )}} sin^{3}{left (6 x right )} + frac{90 sin^{2}{left (4 x right )}}{cos{left (6 x right )}} sin{left (6 x right )} + frac{648 sin^{2}{left (6 x right )}}{cos^{2}{left (6 x right )}} sin{left (4 x right )} cos{left (4 x right )} – 80 sin{left (4 x right )} cos{left (4 x right )} + frac{288 cos^{2}{left (4 x right )}}{cos{left (6 x right )}} sin{left (6 x right )}right)$$